是谁引发了第一次数学危机？最终结果如何？
第一次数学危机指古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希帕索斯，在质疑根号二是否是有理数时引发的危机，直到定义出无理数，第一次数学危机得以解决。
公元前400年左右，以毕达哥拉斯为代表的毕达哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。例如他们提出了毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）。这个定理告诉我们：一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
同时，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，而且都是有理数。所谓有理数，就是指可以表示成两个互质的整数的比（分数）的形式的数。有理数可以分成三类：
1. 整数。例如3（可以表示成3/1）
2. 有限小数。例如2.5（可以表示成5/2）
3. 无限循环小数。例如0.333...(可以表示成1/3）0.806806806...（可以表示成806/999）
毕达哥拉斯学派认为：数轴上的点与有理数一一对应，任意一个线段长度都可以表示成两个整数的比。
在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，学派内部一个年轻学者希帕索斯提出了一点疑问。请问如果一个直角三角形两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示成两个整数的比呢？
显而易见，这个长度是根号2。现在我们知道，根号二不是有理数，因此不能表示成两个互质的整数的比。但是这样就动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础：万物皆是整数（或整数的比）。
这个问题因为无法得到合理的解答，最终可怜的希帕索斯被毕达哥拉斯扔进了爱琴海里。希帕索斯也成为历史上为探究真理而献身的人。
现在我们知道，数轴上的点与实数一一对应，而实数包含有理数与无理数两类。所谓无理数，就是无限不循环小数，无法表示成整数的比。例如圆周率pi=3.1415926...、自然对数的底e=2.71828...、根号二等，都是无理数。
三次数学危机当初都解决了吗？
目前我们所学的数学体系相对比较完备，说明三次数学危机都基本解决。为了使读者更清晰的了解这个问题，下面谈一谈三次数学危机都是什么？并如何解决的？
第一次数学危机
早在古希腊时期，数学家毕达格拉斯认为，宇宙的一切都是数，而且是整数。当然，这里很多小朋友会误会，毕达哥拉斯所说的数，包括整数和整数的比，用我们今天的话来翻译，宇宙的一切都是由有理数组成。
后来他的学生希帕索斯，提出问题，边长为一的正方形的对角线如何用两个整数的比表示出来？这冲击了当时的希腊数学整个体系，你当时的数学家深感不安，这就是第一次数学危机。
有一个说法，希帕索斯不仅提出这个问题，同时也给出过证明，彻彻底底推翻了比达格拉斯的理论，所以希帕索斯才惨遭毒手。至于是不是这样的就不得而知了。
第一次数学危机的解决表明，几何量不能完全用整数表示，反之，任何数却可以有几何量表示出来。直到人们认识了无理数，认识了实数系，第一次数学危机，算是彻底解决。也是这一次危机促成了公理几何与逻辑的诞生。
第二次数学危机
第二次数学危机于牛顿时代，此时已经诞生了微积分，就是牛顿-莱布尼茨站在巨人的肩膀上，开创了基于微积分的数学新时代！
这次危机的关键问题是无穷小量究竟是不是零？两种答案都会产生矛盾，如果无穷小量是零，那么凭什么他当分母？如果无穷小量不是零，那么，凭什么在计算中忽略它的存在。
第二次数学危机的解决，是著名数学家柯西引入了极限的概念，认为无穷小量和无穷大量都是变量，只不过无穷小量的极限是零而已。
在此基础上重新定义了微分和积分，也就是现在我们所学的微积分都是严格的，建立在极限的基础之上，无论是高中还是大学课本都是先引入极限的概念，在此基础上，继续学习微积分。这次数学危机促成了分析基础理论的完善。
第三次数学危机
所有的高中课本的第一节都是集合，而高中教材都会用一页纸的地方介绍集合论的创立人康托尔，康托尔的集合论也成为现代数学的基石，著名数学家庞加莱曾说过：借助集合论，我们可以建造整个数学大厦。这是对集合论最高的赞美。
众所周知，集合有三要素：“确定性，无序性，互异性”，这么简洁美丽的体系即将迎来前所未有的挑战！
几十年后，罗素悖论产生，提出者当然是罗素。他指出：如果一个理发师只给不自己理发的人理发。那么他应该给自己理发吗？细心的人发现，这个理发师怎么做都不对，并且又符合集合的定义，这个悖论严重挑战了集合中的“确定性”！
用集合的语言来说：如果存在一个集合A={x | x?x }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。后来，德国数学家策梅罗，寻找到一种解决办法，把集合论建立在一组公理之上，目的是回避悖论。后来通过一系列数学家的完善，形成了一个集合论的公理系统，在这个系统之内没有悖论。这套系统也叫做“ZF公理系统”
到此第三次数学危机基本缓和下来。
当然，也有这样的说法，认为第三次数学危机表面上解决了，其实不是解决了，是回避了悖论，然而，数学的确定性却逐渐消失，实质上，第三次数学危机以更深刻的形式在延续着，至今没有解决。
你有什么样的看法呢？欢迎来讨论。
据说数学史上有几次大的危机，能不能通俗地讲解一下？
答：在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机
微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：
从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机
数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：
罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？
罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
虽然三次数学危机都已经得到了解决，但是对数学史的影响是非常深刻的，数学家试图建立严格的数学系统，但是无论多么小心，都会存在缺陷，包括后来发现的哥德尔不完备性定理。
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假如未来有人能从整体上完美解决第三次数学危机，还有人能成功证明“1 1=2”，那么谁的成就更大？
其实这个问题的提到的两个数学现象根本不在一个层次上。
从远古时代到现代，数学史上一共有三次危机。第一次是古希腊关于无理数的诞生产生的争论，第二次是微积分里无穷小量的争论，第三次就是19世纪关于集合论定义的争论。
19世纪末，数学空前发展，人们开始着手建立逻辑的数学化。在这里，康托尔的集合论成为了现代数学的基础，而这次危机正是从集合论中提出来。康托尔认为，根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S1，即S1={x:x?x}。这似乎是一个理所应当的结论，然而，凡事总不会这么顺利。
1902年，罗素提出了一个著名的理发师悖论。在一个村子里有一位理发师，他只给那些不给自己理发的人理发，那么问题来了，这个理发师给不给自己理发呢？如果他给自己理发，那么这就违背了他只给那些不给自己理发的人理发这条原则；如果他不给自己理发，那么他自己就在他要去理发的那群人当中，这样也违反了他做理发师的原则。
就这么一个简单的逻辑事件，却深深地透露出一个问题，那么就是，即使我们对于逻辑的数学化建设耗费了如此巨大的精力，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。很明显，这套悖论与康托尔的集合论是水火不容的，必须要建立一个一套更加严密的解决办法才能将这些矛盾统一在一起。也有许多人尝试过，但是都只是部分解决了这次危机。人们建立了两套公理体系，使得最大程度地适配这些悖论。
可以这么说，如果有人能够提出一套方法，哪怕一个思想，可以完美地将这些游离与传统集合论和崭新的逻辑公理统一起来，这个人无疑是具有开天辟地的才能的那种人。这比起那些解决了某个难题的数学家完全不可以在同一个层次上考虑。
1 1，也叫哥德巴赫猜想的最后一步：每个大于等于6的偶数都可以写成2个素数之和。
中国人最熟知的一个数学猜想，甚至没有之一，两百多年始终没有解决。在20世纪之前，这个问题没有任何进展，直到20世纪开始，人们陆续提出了一些某些程度上逼近最终答案的方法，像圆法，和筛法。在上个世纪上半叶，哥德巴赫猜想几乎每年都有新进展。从9 9，一直到我国数学家陈景润的1 2，目前仅有一步之遥。
没人会怀疑哥德巴赫猜想猜想在数学研究上的意义，哪怕这个命题看起来如此地枯燥，甚至独一无二。在解决过程中，这个问题的许多创造性想法，其实在别的地方几乎都不会用到，等于这个问题在数学上太过高冷，不愿意跟别的猜想产生瓜葛，自然哥德巴赫猜想最后就算解决了，也只是小范围的绚烂，不会对整个数论体系有太大的影响。我们在解决这个问题的过程中收集的线索，以及创造的方法， 都将留下人类的智慧杰作上。
但是一个问题，怎么有能耐跟整个数学界来匹配呢？我们希望在未来的几十年有人能够解决哥猜，但是更加希望有人可以圆满解决第三次数学危机，那么到了那个时候，数学必将会有着翻天覆地的变化。
关于三次数学危机的学习体会？
简单来说： 第一次数学危机：无理数的发现。
第二次数学危机：十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论。
第三次数学危机：康托的一般集合理论的边缘发现悖论。
补充： 专业术语 表达： 第一次数学危机：不可通约性的发现。
第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。
第三次数学危机 ： 罗素悖论 。
简答历史上的三次数学危机产生的根源与解决？
第一次数学危机是无理数的诞生，发现根号2不能写成两个整数相除，最终无理数被纳入了实数范围。第二次数学危机源于微积分工具的使用，由于定义不严格，无穷小量这些概念引起争论，最终建立了实数理论，极限理论，使得数学分析有了严格基础。第三次数学危机是关于集合论，即著名的罗素悖论，集合的定义受到了攻击.最终通过不同的公理化系统解决，使数理逻辑等学科得到发展。
数学发展史上的关键节点有哪些？在这些节点上的重要人物以及对数学的贡献是什么？
数学史上三次危机
1、无理数
大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约)的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
2、无穷小
18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x 0)n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。”他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，“dx为逝去量的灵魂”。无穷小量究竟是不是零，无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。